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Anatomía de la paradoja de los gemelos.

( Es muy importante que se entiendan las figuras)

La teoría de la relatividad especial relaciona las medidas de las coordenadas (x,t) de eventos descritos en sistemas de referencia que se mueven uno respecto a otro.

 Los eventos son puntos del mundo físico en un dado instante de tiempo, que vienen descritos por (x, t) en un sistema y (x’, t’) en el otro, donde se ha escogido el origen de los dos sistemas de coordenadas en un evento que viene descrito por x=0, t=0 en el sistema S y x'=0, t'=0 en el sistema S'. (se considera este punto como origen de coordenadas para los dos sistemas)

Las transformaciones de coordenadas para eventos, diferentes del evento escogido como origen comun están dadas por las conocidas transformaciones de Lorentz.

 

En el contexto de estas transformaciones discutiremos la paradoja de los dos gemelos.

 

Consideremos dos sistemas de referencia S y S’, por ejemplo dos trenes poseyendo reglas graduadas y relojes sincronizados que pueden ser vistos desde el tren de enfrente. Enfaticemos aquí que los relojes pueden ser sincronizados sólo si no poseen movimiento relativo. Por lo tanto, si los trenes poseen movimiento relativo los relojes estarán sincronizados sólo en su sistema de referencia.  (sincronizados=marcan la misma hora)

 

 Supongamos ahora que los dos trenes se mueven con una velocidad relativa entre ambos.

 

En la Fig.1 reportamos los datos medidos en el sistema S’ (Bob) para un conjunto de eventos cuyas coordenadas en el sistema S (Ann)  son: 

        t=0  para todos los observadores  ( en seg.)  y

 

        x= 100, 200, 300, 0, -100, -200, -300      Kkm                                   (Kkm= 1000 km)

 

Hemos escogido el origen de los dos sistemas de coordenadas en el evento en que dos viajeros Bob en un tren (sitema S' )y Ann en el otro tren (Sistema S) estan frente a frente. 

 

Aplicando las ecuaciones 1 y 2

 

(t,    x)                 (t’,  x’ )

(0,   0)                   (0,   0)

(0,100)                 (-0.32, 140)

(0, 200)                 (-046, 280)

(0,300)                 (-0.6, 300)

(0, -100)                (0,32, -140)

(0, -200)             (0.46,  -280)

(0, -300)              (0.6,   -300) 

 

 

 Fig. 1. Reglas y relojes del sistema S’ (Bob) vistas desde el sistema S (Ann)

Si consideramos que Ann es la que se mueve esta avanzaría hacia relojes, en el sistema de Bob, cada vez mas adelantados.

Podemos también ver desde el sistema S’ (Bob) las coordenadas en el sistema S. Escogeremos ahora el conjunto de eventos:

 

t’=0 para todos los eventos y   x’ =( 0, 100, -100, 200, -200, 300, -300)  

 

Fig. 2. Reglas y relojes del sistema S  vistas desde el sistema S’ (Bob).

Si consideramos que Bob es el que se mueve este avanzaría hacia relojes en el sistema de Ann cada vez mas avanzados.

Se observa una situación analoga para los dos observadores.

 

Hagamos algunas observaciones:

 

1. - Si la velocidad relativa es cero todos los relojes de S y S’ estarán sincronizados, marcan la misma hora. Cuando ponemos en movimiento los relojes quedan sincronizados en cada sistema pero desde un sistema se ve una desincronización de los relojes  del otro sistema.

 

2. - De las figuras 1. y 2. vemos que la velocidad relativa implica que el observador al moverse verá relojes del otro sistema que estan adelantados (o atrazados), mientras más lejos están mas adelantados (o atrazados) están. Esta es una de las razones del porque un observador que se considera quieto ve que su reloj anda mas despacio que los relojes del sistema que se mueve.

 

3. - Desde el punto de vista de un sistema (El punto de vista de un sistema es una medida hecha en el mismo tiempo en ese sistema) el otro tiene una contracción, por ej. Si nos colocamos en el sistema S (Ann) en la distancia de 100 Kkm un observador en S puede leer la regla graduada de S’ marcando 140 Kkm. Es decir 140 Kkm del tren de Bob están contenidos en 100 Kkm del tren de Ann. Pero si nos situamos en el sistema de Bob entonces son 140 Kkm del tren de Ann que están al frente de 100 Kkm del tren de Bob. Este hecho es conocido como la contracción de Lorentz y como lo he explicado mas arriba es un hecho simétrico. El tren de Ann ve el tren de Bob contraído y viceversa

 

4. - De lo explicado notamos que al darle a un sistema una cierta velocidad produce cambios drásticos cuyas consecuencias están a la base de todas las paradojas que han sido formuladas.

 

Es importante decir, en este momento, que los relojes no sufren ninguna consecuencia física, es la estructura del espacio tiempo que provoca la situación descrita, trenes y relojes no son necesarios.

 

Ahora esperemos 1 seg. Medido por Ann, y en la Fig. 3. vemos las coordenadas (x,t) y (x’,t’) de un conjunto de eventos que nos van a aclarar la situación. En la Fig.3 consideramos el punto de vista de Ann (sistema S)

  

 Fig. 3.   Ha pasado un segundo in el sistema S (Ann) y ve que en el sistema S’ para el pasajero de enfrente ha pasado 1.4 seg., pero para Bob ha pasado solo 0.7.

 

Notemos que Ann tiene una lectura menor que el reloj de enfrente en el sistema de (Bob), pero también Bob tiene una lectura menor que la del reloj de enfrente en el sistema de Ann.

 

Vemos aquí la casi simetría de lo observado por los dos sistemas (casi simetría porque hemos esperado un segundo medido en el sistema de referencia de Ann).

Ahora, si Ann se detiene en el sistema de Bob entonces continuará a contar el tiempo en sincronía con los relojes del sistema S’ pero su reloj estará retardado por 0.4 seg. Ann se habrá quedado mas joven que Bob.

Si Bob se detiene en el sistema de Ann será él que tendrá el reloj retardado respecto de los relojes del sistema de referencia de Ann. En este caso es Bob que es mas joven que Ann.

 

Ahora podemos explicar la paradoja en forma cualitativa.

Bob comienza su viaje y compara su reloj con los relojes del sistema de Ann, a él le parece que su reloj avanza mas despacio porque va comparando con relojes que estaban avanzados desde el comienzo de su viaje, mas avanzados mientras más lejos se encontraban. Bob acumulará una diferencia entre su reloj y los relojes de enfrente en el otro sistema, pero no acumulará diferencias de tiempo respecto de Ann. Cuando el decide detenerse, de ese momento en adelante seguirá acumulando tiempo en sincronía con Ann pero con un reloj atrasado; por lo tanto, Ann  se habrá puesto mas vieja que Bob. Vemos que el detenerse en el otro sistema es crucial para que la diferencia de tiempo sea una diferencia absoluta, valida para todos los observadores del sistema de Ann. Tambien es valida si simplemente el viajero decide que otro viajero le siga contando el tiempo, como en la paradoja donde no se utilizan sistemas acelerados.

 

El viaje de regreso se explica de manera idéntica a esta, en este caso Bob verá los relojes adelantados en la dirección en que se encuentra Ann puesto que la velocidad ha invertido su dirección y ahora se encontrará con relojes adelantados en la dirección en que está Ann.

 

Podemos hacer la siguiente analogía, cuando vamos al supermercado y giramos por los estantes el carrito se va cargando siempre mas, pero esto no quiere decir que la mercancía es nuestra, tenemos que pagar en la caja para que seamos propietarios de la mercancía.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

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