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Sistemas de referencia Rotatorios.

 

Las leyes de Newton son válidas para sistemas inerciales, en estos sistemas estas leyes permiten describir el movimiento de las partículas masivas. Un sistema de referencia que rota no es un sistema inercial, por lo tanto si tenemos un observador en un sistema rotatorio deberá comparar sus medidas con las medidas hechas en un sistema inercial para describir el movimiento utilizando las leyes de Newton. La tierra es uno de estos sistemas, de allí la importancia de conocer la forma de la ley de Newton para un sistema rotatorio.

 

Nuestro propósito es, por lo tanto, el descubrir un procedimiento que nos permita comparar las medidas de un observador en un sistema rotatorio con las que haría un observador en un sistema inercial. Para ello haremos uso de la propiedad del espacio físico de ser un espacio vectorial, en particular usaremos la propiedad de que dos puntos del espacio físico si son simultáneos definirán un vector al darles un sentido. Este vector será denominado distancia entre los puntos A y B si le damos la dirección de A  a B. De la definición de suma de vectores se tiene que: si tenemos tres puntos simultáneos en el espacio físico, A, B y C Tendremos que: AC=AB+BC, (usamos negritas para escribir los vectores.)

 Con el objetivo de describir en forma mas elemental lo que estamos buscando empezaremos con un modelo en dos dimensiones.

Consideremos un observador fijo a un carrusel que gira a velocidad angular w y observa un móvil. Por otro lado, fuera del carrusel, tenemos otro observador que está en un sistema inercial. Esta situación se muestra en la Fig.1

Sea  la distancia del móvil respecto al origen del sistema de referencia inercial, r la distancia del móvil respecto al origen de coordenadas del sistema rotante, y R la distancia entre los dos orígenes de coordenadas de los dos sistemas. La fig1. muestra un esquema de estos vectores, se nota sin lugar a dudas que:

 

 

 

 Esta ecuación es una ecuación vectorial; es válida, por lo tanto, para cualquier observador situado en cualquier sistema de referencia. Aclaremos aquí que en una ecuación vectorial cada uno de los términos deben ser referidos al mismo observador. (aclaremos que r es la posicion respecto al sistema de referencia rotante, pero este vector puede ser referido a un observador fuera del sistema rotante )

En lo que sigue supondremos R constante en el tiempo y trataremos de deducir una ecuación de movimiento (ley de Newton) para un observador en el sistema de referencia no inercial. Para ello deduciremos una relación entre la derivada de la posición respecto al origen visto desde el sistema inercial y la derivada del vector posición respecto al origen del sistema rotatorio visto desde el sistema rotatorio.

Observemos desde ambos sistemas de referencia una partícula que se mueve desde una posición inicial i a la posición final f. La figura 2 muestra la posición de la partícula en dos instantes de tiempo diferentes, en negro en t = 0 y en rojo para t = dt. 

 

 

La fig.2 muestra claramente que:

 

notemos que ds es el cambio de posición medido por un observador situado en el sistema de referencia rotante, entonces podemos escribir:

 

Aclaremos aquí que ésta no es una ecuación vectorial  considerada por cualquier observador, ésta es una relación entre medidas de dos observadores diferentes, puesto que dr es diferente para un observador fijo al dr observado por el que gira a velocidad angular. La confusión que crea el utilizo de dr para dos vectores que son diferentes se ha hecho para concentrar la atención del lector sobre el hecho quepara el observador fijo y es la distancia entre el punto del disco en la posición inicial de la partícula y el punto final donde se encuentra la partícula, en cambio para un observador situado en el disco rotando, dr es el vector distancia entre el lugar del disco donde estaba al inicio la partícula y el lugar del disco en que se encuentra la partícula al final.

“Dividiendo por dt  esta relación se puede escribir como una relación entre operadores de derivación vistos desde dos sistemas diferentes.

d*/dt =w x   +  d/dt   

donde d*/dt  es la derivada respecto al tiempo para un observador en el sistema inercial y d/dt  es la derivada temporal vista por un observador en el sistema no inercial.

Esta relación es fácilmente extensible a tres dimensiones, quedando de la misma forma de arriba.

Para describir la ley de Newton en el sistema rotante calcularemos las derivadas segundas:

 

La ley de Newton queda:

Esta ecuación describe el movimiento de una partícula vista desde un sistema no inercial.  A la fuerza que actúa sobre la partícula debemos agregar tres fuerzas ficticias:

 Con:

 

Fuerzas de Coriolis y Centrífugas.

Calculemos la fuerza de Coriolis para una partícula en caída libre a una cierta latitud q en el momento en que viaja a 50 m/s.

w apunta en la dirección sur norte y vale 2pi/86400  s.

El  producto vectorial de w por la vertical a latitud q apunta en la dirección este. La aceleración de Coriolis es para el ecuador  con angulo entre vertical y velocidad =90

 2 w v sen (90-q) = 0,0072 m/s2 = 0,72 cm/s2

En una caída libre de 100 m la desviación respecto a la vertical es de unos 2,2 cm.

En cuanto a la aceleración centrífuga es del orden de 3,4 cm/s2 .

Si consideramos que la tierra gira alrededor del Sol tenemos que agregar una aceleración centripeta del movimiento orbital que apunta hacia el Sol del orden de 0,6 cm/s2 .

Debido a que el Sol gira alrededor del centro de la Galaxia se suma una aceleración despreciable del orden de  3 10-8 cm/s2.

  

 

 

 

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